2023/01/11
前回に引き続いて、計算力を鍛えるにはどうするか、というテーマで書きたいと思います。
前回の結論は、分数の足し引きを練習しよう、ということでした。
通分するために分母の最小公倍数を見つける、実際に分母を揃えるために分母分子に同じ数を掛ける、分子の足し引き。
最後に約分できるかどうか、確認する必要もあります。
できるなら分母分子をその最大公約数で割る。
足し引き掛け割り、4種の計算すべてをやらなくてはならないので、計算力の総合的なトレーニングになるでしょう。
以上が第1段階でした。
では第2段階は、というと実のところ、分数の足し引きが余裕を持ってできたらもう普通の数に関する計算力は十分で、計算のスピードをあげるためにやれることってもうあまりないんですよね。
それ以上の、足し引き掛け割りに累乗も混ざった、いわゆる四則混合の計算問題では、計算する順番に気を付けること。
カッコなどがない場合、累乗→掛け割り→足し引き の順番にする、と決められています。
これを踏まえて、途中計算をしっかり書きながら進めます。
この途中計算をしっかり書くことがかなり大切で、「式を作る」こととあわせて、次なる第2段階だ、と言っていいでしょう。
なかなかできないことですので、少し説明します。
例として 6×2-15÷3×2 を考えましょう。かけ算、引き算、割り算がありますので、かけ算と割り算が優先。
でも、後ろの15÷3×2 には割り算とかけ算がありますね。
こういう場合は基本的に左から計算します。
つまり、まず計算するのは6×2と15÷3なわけです。
途中計算としては、この2つの計算の結果を書いて、他はそのままである式を書きます。
つまり
6×2-15÷3×2
=12-5×2
のようになります。- と ×2 はまだ計算していないから、もとの場所にそのままあるのです。
改行することも案外大事。
引き算とかけ算が残りましたから、次はかけ算。
くどいですが、初めの式から再掲します。
6×2-15÷3×2
=12-5×2
=12-10
これで引き算をすれば終わり。
最初から最後まで書くと
6×2-15÷3×2
=12-5×2
=12-10
=2
こんな感じです。
これを、書けること。
書きたくても書けないなら、計算の順序がわかっていないか、計算していないところはそのまま書く、というルールを知らないのでしょう。
より複雑な計算をしなくてはならないとき、きちんと途中計算を書けないと自分が何をしているのかよく分からなくなってしまいます。
さて、途中計算についてはこの辺にして、改めて第2段階の本体「式を作る」。
とりあえず文字式が出てきます。
式を作ることの説明の前に、まず文字の意味を明確にした方がいいですね。
文字式の計算、とはいいますが、文字自体は一切計算しません。
小学校で言えば、□です。
「500円持って買い物に行き、□円のお菓子を買いました。残りはいくらでしょう？」
こういうとき、500-□ という式を書くわけです。
これは計算のしようがないですよね。□はいろいろな数が当てはまることになるでしょうから、その都度計算も答えも変わります。
実際に学校などで問題として出てくるときは「500円持って買い物に行き、□円のお菓子を買うと340円残りました。このことを□を使った式で表しましょう。」なんて具合になります。
書いて欲しい式は、500-□=340 です。
この□の代わりにアルファベットを使った方がオシャレじゃない？というだけのことです。
実際□ではなくxを使うと、500-x=340 となり、急に高級感がでますよね。
さて、こうして作った式ですが、このあと計算をして、お菓子が160円だな、とわかることは実のところ重要ではありません。
大切なのは、式を書けること、そして書いた式から、□を出したければ500-340をすればいいな、とわかること。
この2点こそが数学で文字を使う理由であり、利点であるからです。
「式を書けること」は方程式を立てることに、「□を出すために何をするか」は方程式を解くとことに相当します。
方程式を立てるというのは、問題を数学的な関係式で表す、ということで、考えたい状況を整理し、明確にする作業です。
方程式が出来たなら、それを解くのは別の仕事。実際のところ、完全な解き方の分かっていない方程式というものも存在するのですが、式さえあるなら真の値に近い答えを知ることはできるかもしれません。
いずれにしても「問題を整理し、方程式で表す」部分と「方程式から(近似であっても)解を求める」ことを分けて作業できるというのは大変大きな利点です。
抽象的な言い方をしてしまったので、実際の算数の問題を取り上げましょう。
問題：底面が半径6㎝、中心角60°のおうぎ形で、高さ10㎝の錐体(上がとがった立体)の体積を求めよ。
やるべきことはわかっている、という設定で進めます。
やるべきことがわかっていても、小学生だと・あるいは式を書くことの重要性がわかっていないままだと、まず円の面積が半径×半径×円周率だから・・・6×6×3.14 で113.04㎠！と計算してしまいがちです。
間違っているわけではありません。
ただ、中心角が60°なので、円を6等分する必要があります。÷6ってことです。計算してしまっていたら少し無駄になるとお分かりいただけるでしょうか。
6掛けてから6で割れば元に戻りますからね。
つまり113.04÷6=18.84㎠、ではなく、6×3.14=18.84㎠で良かったわけです。
そして錐体の体積ですから、底面積に高さを掛けて、最後に3で割ります。
これもまあ、18.84×10=188.4、188.4÷3=62.8㎤、と順番に計算してしまいがち。
そんな計算をする子は、たいてい途中計算を書いていません。あるいは上で述べたような事情で途中計算の書き方が分かっていないのか。
さて、答えは一応出たようですが、計算をいちいちせず、どのような順番でどのような計算をしなくてはいけないか、それを考えて式を書けば次のようになります。
6×6×3.14÷6×10÷3 ・・・(1)
式の中の÷6や÷3は、一つのかけ算・割り算のまとまりの中では掛け合わされている数のどれに対して実行してもいいんです。これは小学校で教わることですし、実例で確かめることも簡単です。
つまり、一つの6は÷6でなくなる(1になる)し、もう一つの6は÷3で2になり、結果としてやるべき計算は
2×3.14×10
だけ。最初のかけ算、繰り上がりがないですから、暗算ですぐ6.28とわかりますよね。×10で62.8です。
ちなみに、(1)で書いた式ですが、計算しようとしたことを順番に式のままにしておいただけです。
具体的に言うと、円の面積・・・6×6×3.14
中心角60°・・・6×6×3.14÷6
高さ10・・・6×6×3.14÷6×10
錐体だから・・・6×6×3.14÷6×10÷3
という具合に、順番に増やしているだけです。困難は分割して考えるというのはデカルト以来の基本ですが、長い式を書いたからと言って、一気に問題全体を考えたわけではないことはお伝えしておきます。
以上のようにして式ができたら、初めに言ったように途中計算の原則に従って、工夫できるところはして（今の場合は割れるところを先に割る）、計算を進めます。
丁寧に、一つ一つやればいい。
教科書の解答でも市販の問題集でも、式は普通、(1)のような「全部盛り」のものだけが書かれています。
その理由はここまででお伝えしてきたようなことなんですね。
つまり「面倒な計算は後回しにして、どういう計算をしたらいいか考えようね、そうすると面倒だった計算も少し楽にできることもあるよ～」ということを（読む人にはそうとは伝えずに）書いてあるのです。
この傾向は高校の化学の教科書や問題集で特に顕著ではないかと思います。
さて、そろそろまとめてしまいます。
第1段階：分数の足し引き（分母が違うやつ・小5のドリル）が全く問題なくできるようになれば、計算の心配はいらない。
第2段階：いわゆる文章題を読んで、答えを出す過程を一つの式にできるようにすること。
これができれば、問題集の解説を見ても意味が分かります。
つまり、少しは自分一人でできるようになる、はず。
さいごに少し宣伝しておきますが、博遊堂で小学生用として使っている教材は、計算も文章題のトレーニングも、両方きっちりやれます。
ただし「きちんと教材の意図をわかっている指導者」がいてこそ。
小学生用でも、必要であれば中学生・高校生も取り組んでもらえます！
お気軽にお問い合わせくださいね♪
前回の結論は、分数の足し引きを練習しよう、ということでした。
通分するために分母の最小公倍数を見つける、実際に分母を揃えるために分母分子に同じ数を掛ける、分子の足し引き。
最後に約分できるかどうか、確認する必要もあります。
できるなら分母分子をその最大公約数で割る。
足し引き掛け割り、4種の計算すべてをやらなくてはならないので、計算力の総合的なトレーニングになるでしょう。
以上が第1段階でした。
では第2段階は、というと実のところ、分数の足し引きが余裕を持ってできたらもう普通の数に関する計算力は十分で、計算のスピードをあげるためにやれることってもうあまりないんですよね。
それ以上の、足し引き掛け割りに累乗も混ざった、いわゆる四則混合の計算問題では、計算する順番に気を付けること。
カッコなどがない場合、累乗→掛け割り→足し引き の順番にする、と決められています。
これを踏まえて、途中計算をしっかり書きながら進めます。
この途中計算をしっかり書くことがかなり大切で、「式を作る」こととあわせて、次なる第2段階だ、と言っていいでしょう。
なかなかできないことですので、少し説明します。
例として 6×2-15÷3×2 を考えましょう。かけ算、引き算、割り算がありますので、かけ算と割り算が優先。
でも、後ろの15÷3×2 には割り算とかけ算がありますね。
こういう場合は基本的に左から計算します。
つまり、まず計算するのは6×2と15÷3なわけです。
途中計算としては、この2つの計算の結果を書いて、他はそのままである式を書きます。
つまり
6×2-15÷3×2
=12-5×2
のようになります。- と ×2 はまだ計算していないから、もとの場所にそのままあるのです。
改行することも案外大事。
引き算とかけ算が残りましたから、次はかけ算。
くどいですが、初めの式から再掲します。
6×2-15÷3×2
=12-5×2
=12-10
これで引き算をすれば終わり。
最初から最後まで書くと
6×2-15÷3×2
=12-5×2
=12-10
=2
こんな感じです。
これを、書けること。
書きたくても書けないなら、計算の順序がわかっていないか、計算していないところはそのまま書く、というルールを知らないのでしょう。
より複雑な計算をしなくてはならないとき、きちんと途中計算を書けないと自分が何をしているのかよく分からなくなってしまいます。
さて、途中計算についてはこの辺にして、改めて第2段階の本体「式を作る」。
とりあえず文字式が出てきます。
式を作ることの説明の前に、まず文字の意味を明確にした方がいいですね。
文字式の計算、とはいいますが、文字自体は一切計算しません。
小学校で言えば、□です。
「500円持って買い物に行き、□円のお菓子を買いました。残りはいくらでしょう？」
こういうとき、500-□ という式を書くわけです。
これは計算のしようがないですよね。□はいろいろな数が当てはまることになるでしょうから、その都度計算も答えも変わります。
実際に学校などで問題として出てくるときは「500円持って買い物に行き、□円のお菓子を買うと340円残りました。このことを□を使った式で表しましょう。」なんて具合になります。
書いて欲しい式は、500-□=340 です。
この□の代わりにアルファベットを使った方がオシャレじゃない？というだけのことです。
実際□ではなくxを使うと、500-x=340 となり、急に高級感がでますよね。
さて、こうして作った式ですが、このあと計算をして、お菓子が160円だな、とわかることは実のところ重要ではありません。
大切なのは、式を書けること、そして書いた式から、□を出したければ500-340をすればいいな、とわかること。
この2点こそが数学で文字を使う理由であり、利点であるからです。
「式を書けること」は方程式を立てることに、「□を出すために何をするか」は方程式を解くとことに相当します。
方程式を立てるというのは、問題を数学的な関係式で表す、ということで、考えたい状況を整理し、明確にする作業です。
方程式が出来たなら、それを解くのは別の仕事。実際のところ、完全な解き方の分かっていない方程式というものも存在するのですが、式さえあるなら真の値に近い答えを知ることはできるかもしれません。
いずれにしても「問題を整理し、方程式で表す」部分と「方程式から(近似であっても)解を求める」ことを分けて作業できるというのは大変大きな利点です。
抽象的な言い方をしてしまったので、実際の算数の問題を取り上げましょう。
問題：底面が半径6㎝、中心角60°のおうぎ形で、高さ10㎝の錐体(上がとがった立体)の体積を求めよ。
やるべきことはわかっている、という設定で進めます。
やるべきことがわかっていても、小学生だと・あるいは式を書くことの重要性がわかっていないままだと、まず円の面積が半径×半径×円周率だから・・・6×6×3.14 で113.04㎠！と計算してしまいがちです。
間違っているわけではありません。
ただ、中心角が60°なので、円を6等分する必要があります。÷6ってことです。計算してしまっていたら少し無駄になるとお分かりいただけるでしょうか。
6掛けてから6で割れば元に戻りますからね。
つまり113.04÷6=18.84㎠、ではなく、6×3.14=18.84㎠で良かったわけです。
そして錐体の体積ですから、底面積に高さを掛けて、最後に3で割ります。
これもまあ、18.84×10=188.4、188.4÷3=62.8㎤、と順番に計算してしまいがち。
そんな計算をする子は、たいてい途中計算を書いていません。あるいは上で述べたような事情で途中計算の書き方が分かっていないのか。
さて、答えは一応出たようですが、計算をいちいちせず、どのような順番でどのような計算をしなくてはいけないか、それを考えて式を書けば次のようになります。
6×6×3.14÷6×10÷3 ・・・(1)
式の中の÷6や÷3は、一つのかけ算・割り算のまとまりの中では掛け合わされている数のどれに対して実行してもいいんです。これは小学校で教わることですし、実例で確かめることも簡単です。
つまり、一つの6は÷6でなくなる(1になる)し、もう一つの6は÷3で2になり、結果としてやるべき計算は
2×3.14×10
だけ。最初のかけ算、繰り上がりがないですから、暗算ですぐ6.28とわかりますよね。×10で62.8です。
ちなみに、(1)で書いた式ですが、計算しようとしたことを順番に式のままにしておいただけです。
具体的に言うと、円の面積・・・6×6×3.14
中心角60°・・・6×6×3.14÷6
高さ10・・・6×6×3.14÷6×10
錐体だから・・・6×6×3.14÷6×10÷3
という具合に、順番に増やしているだけです。困難は分割して考えるというのはデカルト以来の基本ですが、長い式を書いたからと言って、一気に問題全体を考えたわけではないことはお伝えしておきます。
以上のようにして式ができたら、初めに言ったように途中計算の原則に従って、工夫できるところはして（今の場合は割れるところを先に割る）、計算を進めます。
丁寧に、一つ一つやればいい。
教科書の解答でも市販の問題集でも、式は普通、(1)のような「全部盛り」のものだけが書かれています。
その理由はここまででお伝えしてきたようなことなんですね。
つまり「面倒な計算は後回しにして、どういう計算をしたらいいか考えようね、そうすると面倒だった計算も少し楽にできることもあるよ～」ということを（読む人にはそうとは伝えずに）書いてあるのです。
この傾向は高校の化学の教科書や問題集で特に顕著ではないかと思います。
さて、そろそろまとめてしまいます。
第1段階：分数の足し引き（分母が違うやつ・小5のドリル）が全く問題なくできるようになれば、計算の心配はいらない。
第2段階：いわゆる文章題を読んで、答えを出す過程を一つの式にできるようにすること。
これができれば、問題集の解説を見ても意味が分かります。
つまり、少しは自分一人でできるようになる、はず。
さいごに少し宣伝しておきますが、博遊堂で小学生用として使っている教材は、計算も文章題のトレーニングも、両方きっちりやれます。
ただし「きちんと教材の意図をわかっている指導者」がいてこそ。
小学生用でも、必要であれば中学生・高校生も取り組んでもらえます！
お気軽にお問い合わせくださいね♪